Cours Proportionnalité
Introduction :
L’objectif de cette leçon est de savoir reconnaître si une situation est de proportionnalité ou non, de savoir compléter un tableau de proportionnalité et de résoudre des problèmes d’échelles simples. Dans un premier temps, nous apprendrons à reconnaître si une situation est de proportionnalité ou non. Dans un deuxième temps, nous apprendrons à compléter un tableau de proportionnalité et, dans un troisième temps, nous montrerons comment résoudre des problèmes d’échelles simples.
Reconnaître une situation de proportionnalité
Reconnaître une situation de proportionnalité
Définition
Grandeurs proportionnelles :
Pour que deux grandeurs (ou listes de nombres) soient proportionnelles, il faut pouvoir obtenir l’une à partir de l’autre en multipliant par un même nombre, que l’on appelle coefficient de proportionnalité.
Si ce n’est pas le cas, la situation ne sera pas une situation de proportionnalité.
Exemple
Un groupe d’adultes visite un musée pour lequel le tarif d’entrée est de $7$ € par personne.
Nous obtenons le tableau suivant :
Nous avons les égalités suivantes :
$\frac{7}{1} = \frac{14}{2} = \frac{35}{5} = \frac{56}{8} = 7$
Dans ce tableau, on obtient le prix à payer (en €) en multipliant le nombre d’entrées par $7$.
- Il s’agit donc d’un tableau de proportionnalité dont le coefficient de proportionnalité est $7$.
Le tableau suivant indique le prix de paquets de bonbons dans un supermarché.
Ici, nous avons :
$\frac{2,50}{1} = \frac{5}{2} = \frac{7,50}{3} = 2,5$ et $\frac{9}{4} = 2,25 \neq 2,5$
- Le tableau n’est donc pas un tableau de proportionnalité : il y a une réduction pour le quatrième paquet de bonbons acheté.
Une personne achète des tomates dans une épicerie : elles sont vendues $3$ € le kilogramme.
Nous obtenons le tableau suivant :
Nous avons les égalités suivantes :
$\frac{1,50}{0,5} = \frac{3}{1} = \frac{3,60}{1,20} = \frac{4,50}{1,5} = 3$
Dans ce tableau, on obtient le prix à payer (en €) en multipliant la quantité achetée par $3$.
- Il s’agit donc d’un tableau de proportionnalité dont le coefficient de proportionnalité est $3$.
Le tableau suivant indique l’aire d’un carré en fonction de la longueur de son côté.
Nous avons :
$\frac{4}{2} = 2$ ; $\frac{9}{3} = 3$ ; $\frac{16}{4} = 4$ et $\frac{25}{5} = 5$
- Les quotients ne sont pas égaux, le tableau n’est donc pas un tableau de proportionnalité.
Compléter un tableau de proportionnalité
Compléter un tableau de proportionnalité
MÉTHODE
- Pour compléter un tableau de proportionnalité, on doit d’abord trouver son coefficient de proportionnalité : il s’agit de la valeur correspondant à « l’unité ».
- On peut ensuite compléter le tableau de proportionnalité à l’aide de multiplications ou de divisions en utilisant le coefficient de proportionnalité.
Exemple
On souhaite compléter le tableau de proportionnalité ci-dessous qui indique le montant payé pour un plein d’essence en fonction du nombre de litres d’essence achetés.
Commençons par calculer le coefficient de proportionnalité de ce tableau : $\frac{42}{30} = 1,4$
Cette valeur est le prix au litre de l’essence : pour chaque litre d’essence acheté, on payera $1,40$ €.
On peut ensuite compléter le tableau.
- Pour $10$ litres, on payera $10\times 1,4 = 14$ €.
- Pour $20$ litres, on payera $20\times 1,4 = 28$ €.
- Pour $40$ litres, on payera $40\times 1,4 = 56$ €.
- Pour $50$ litres, on payera $50\times 1,4 = 70$ €.
- Si l’on paye $84$ €, on obtiendra $\frac{84}{1,4} = 60$ litres d’essence.
On obtient donc le tableau de proportionnalité suivant.
REMARQUE
Nous pouvons aussi utiliser la linéarité pour déterminer des valeurs du tableau.
Avec une multiplication ou une division :
- Si 30 L d’essence coûtent 42 €,
- 10 L = 30 L $\div$ 3 coûtent 42 € $\div$ 3 = 14 €.
- Si 30 L d’essence coûtent 42 €,
- avec 84 € = 42 € $\times$ 2 nous pouvons acheter 30 L $\times$ 2 = 60 L d’essence.
Avec une addition ou une soustraction :
- Si 30 L d’essence coûtent 42 € et 10 L coûtent 14 €,
- 40 L = 30 L + 10 L coûtent 42 € + 14 € = 56 €.
- Si 60 L d’essence coûtent 84 € et 10 L coûtent 14 €,
- 50 L = 60 L - 10 L coûtent 84 € - 14 € = 70 €.
Exemple
On souhaite compléter le tableau de proportionnalité ci-dessous qui indique le montant payé pour des kiwis dans une épicerie. Ils sont vendus $0,60$ € à l’unité.
D’après l’énoncé, le coefficient de proportionnalité de ce tableau est $0,6$.
On peut maintenant compléter le tableau.
- Pour acheter $1$ kiwi, on payera $0,60$ €.
- Pour acheter $2$ kiwis, on payera $2\times 0,6 = 1,20$ €.
- Pour acheter $5$ kiwis, on payera $5\times 0,6 = 3$ €.
- Pour acheter $12$ kiwis, on payera $12\times 0,6 = 7,20$ €.
- Pour $2,40$ €, on obtiendra $\frac{2,40}{0,6} = 4$ kiwis.
- Pour $4,80$ €, on obtiendra $\frac{4,80}{0,6} = 8$ kiwis.
On obtient donc le tableau de proportionnalité suivant.
Résoudre des problèmes d’échelles simples
Résoudre des problèmes d’échelles simples
Définition
Pour représenter une zone sous la forme d’un croquis ou d’une carte, les distances réelles sont divisées par un certain nombre pour effectuer un dessin « à l’échelle ».
Si ce nombre est noté « ? », l’échelle s’écrit sous la forme $\frac{1}{?}$.
Exemple
Pour une carte IGN à l’échelle $1/100 000^{ème}$, les distances sur le dessin sont 100 000 fois plus petites que celles dans la réalité ou, inversement, les distances dans la réalité sont 100 000 fois plus grandes que celles sur le dessin.
Exemple
On considère l’échelle graphique suivante, où le segment mesure 1 cm : « 1 cm sur le plan correspond à 100 m dans la réalité » ou « on a 100 m dans la réalité par centimètre sur le plan ».
Légende
En utilisant la proportionnalité, nous pouvons calculer :
- une distance réelle :
Par exemple, une distance de 5 cm sur le plan correspond à une distance de 500 m dans la réalité.
- une distance sur le plan :
Par exemple, une distance de 1 200 m dans la réalité correspond à une distance de 12 cm sur le plan.
1 cm sur le plan correspond dans la réalité à 100 m = 10 000 cm, donc ce plan est à l’échelle $1/10\,000^{ème}$.
Exemple
Sur le plan de Paris ci-dessous, nous cherchons à connaître la distance « à vol d’oiseau » entre la Place de la Concorde et la Place de la Nation.
La distance sur le plan entre la Place de la Concorde et la Place de la Nation est de 12 cm. D’après l’échelle graphique, 1 km dans la réalité sont représentés par 2 cm sur le plan, donc la distance réelle entre la Place de la Concorde et la Place de la Nation est de 6 km (car $12 = 2\times6$).
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons appris à reconnaître une situation de proportionnalité, puis à utiliser le coefficient de proportionnalité ou la linéarité pour compléter un tableau de proportionnalité. Enfin, nous avons appris à résoudre des problèmes d’échelles simples où, à partir de la distance sur un plan et l’échelle graphique, nous pouvons calculer la distance réelle.