Exercices Produit scalaire, orthogonalité et distances dans l’espace

Soit $(O\ ; \,\vec \imath, \,\vec \jmath, \,\vec k)$ un repère orthonormé de l’espace. On considère les points $A$, $B$ et $C$ de coordonnées $A(-1\ ;\,2\ ;\,0)$, $B(1\ ;\,2\ ;\,4)$ et $C(-1\ ;\,1\ ;\,1)$.

Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

On considère un cube $ABCDEFGH$ d’arête de longueur $1$ et on note :

• $I$ le milieu du segment $[AE]$ ;
• $J$ le centre de la face $ABCD$.

Représenter par une figure la situation de l’énoncé.

L’espace est muni d’un repère orthonormé $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$.
On considère les points :

$$\begin{aligned} A\,(-5\ ;\, -2\ ;\, &0)\quad B\,(-1\ ;\, -2\ ;\, 2)\quad C\,(-5\ ;\, -2\ ;\, 2) \\ &D\,(-3\ ;\, 3\ ;\, 1)\quad E\,(-4\ ;\, 1\ ;\, 3) \end{aligned}$$

Question 1

Calculer les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$.

Question 2

Montrer que $\overrightarrow{AB\ }$ est un vecteur normal au plan $(DEI)$. Que peut-on en déduire pour les droites $(ED)$ et $(AB)$ ?

Question 3

On définit le plan médiateur d’un segment par l’unique plan orthogonal à ce segment en son milieu.

• Justifier que le plan médiateur de $[AB]$ est le plan $(DEI)$.
• On considère $P$ un plan parallèle à $(DEI)$.
  Donner une droite orthogonale et un vecteur normal au plan $P$.
• En déduire que le plan médiateur de $[AB]$ et le plan médiateur de $[AC]$ ne sont pas parallèles.

Question 4

• Soit $M$ un point de l’espace. Démontrer que :

$$(\overrightarrow{MA\ }+\overrightarrow{MB\ })\cdot (\overrightarrow{MA\ }-\overrightarrow{MB\ })=MA^2-MB^2$$

Puis que :

$$(\overrightarrow{MA\ }+\overrightarrow{MB\ })\cdot (\overrightarrow{MA\ }-\overrightarrow{MB\ })=2\cdot \overrightarrow{MI\ }\cdot \overrightarrow{BA\ }$$

• En déduire que, si $M$ appartient au plan médiateur de $[AB]$, alors il est équidistant de $A$ et de $B$.

Par la suite, on admet les propriétés suivantes :

• le plan médiateur d’un segment est l’ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment ;
• les plans médiateurs des arêtes d’une pyramide se coupent en un point qui est le centre de la sphère circonscrite à la pyramide.

Question 5

Les plans médiateurs des arêtes de la pyramide se coupent en $S\,(-3\ ;\, 0\ ;\, 1)$.
Calculer le rayon de la sphère circonscrite au tétraèdre $ABCD$.

On donne $A(-10; 32; -2)$, $B(6; -16; 10)$, $C(-2; 34; 4).$

Montrer que $A, B, C$ sont non-alignés.