Cours Nombres décimaux : addition, soustraction et multiplication

Addition de deux nombres décimaux

Additionner deux nombres décimaux

Définition

Somme :

Le résultat d'une addition est une somme.

$12,6 + 7,2 = 19,8$
La somme des termes $12,6$ et $7,2$ est $19,8$.

Exemple

$90,54 + 32,8 = 123,34$
La somme des termes $90,54$ et $32,8$ est $123,34$.

Rappel

Lorsqu'on pose une addition, les virgules doivent être alignées verticalement et il ne faut pas oublier les retenues.

Certains calculs peuvent être effectués mentalement ou à la calculatrice lorsque c'est demandé.

Calculer un ordre de grandeur

Pour avoir une idée du résultat d'une addition sans la poser, on peut utiliser les ordres de grandeurs.
Par exemple, dans le calcul de $1\ 224 + 390,8$ :

• un ordre de grandeur de $1\ 224$ est $1\ 200$ ;
• un ordre de grandeur de $390,8$ est $400$.
• Un ordre de grandeur de la somme de $1\ 224 + 390,8$ est donc $1\ 200 + 400 = 1\ 600$

Et effectivement, le résultat de cette addition est proche de $1\ 600$ puisque $1\ 224 + 390,8= 1\ 614,8$

Attention

Les ordres de grandeur ne permettent pas de conclure qu'un résultat est correct.
Ils permettent seulement de conclure qu'un résultat est faux quand le résultat calculé est très éloigné de l'ordre de grandeur obtenu.

Soustraction de deux nombres décimaux

Soustraire deux nombres décimaux

Définition

Différence :

Le résultat d'une soustraction est une différence.

$12,6 - 7,2 = 5,4$
La différence des termes $12,6$ et $7,2$ est $5,4$.

Astuce

La différence entre $12,6$ et $7,2$ est le nombre qu'il faut ajouter à $7,2$ pour obtenir $12,6$.

• Cela signifie que $12,6 - 7,2 = 5,4$ équivaut à $5,4 + 7,2 = 12,6$

Exemple

$90,54 - 32,8 = 57,74$
La différence des termes $90,54$ et $32,8$ est $57,74$.

Calculer un ordre de grandeur

Pour avoir une idée du résultat d'une soustraction sans la poser, on peut utiliser les ordres de grandeur.
Par exemple, dans le calcul de $1\ 224 - 390,8$ :

• un ordre de grandeur de $1\ 224$ est $1\ 200$ ;
• un ordre de grandeur de $390,8$ est $400$.
• Un ordre de grandeur de la différence de $1\ 224 - 390,8$ est donc $1\ 200-400=800$

Et effectivement, le résultat de cette soustraction est proche de $800$ puisque $1\ 224 - 390,8= 833,2$

Produit de deux nombres décimaux

Définition

Produit :

Le résultat d'une multiplication est un produit.

$4 \times 7,2 = 28,8$
Le produit des facteurs $4$ et $7,2$ est $28,8$.

Multiplications particulières

Multiplier un nombre décimal par $10$, $100$ ou $1\ 000$

À retenir

• Multiplier un nombre décimal par $1\red{0}$ revient à décaler la virgule de ce nombre d’un rang vers la droite.
• Multiplier un nombre décimal par $1\red{00}$ revient à décaler la virgule de ce nombre de deux rangs vers la droite.
• Multiplier un nombre décimal par $1\ \red{000}$ revient à décaler la virgule de ce nombre de trois rangs vers la droite.

Astuce

On peut avoir besoin de rajouter un ou plusieurs zéros au nombre décimal que l'on multiplie par $10$, $100$ ou $1\ 000$.

Exemple

$20,25\times 10 = 202,5$
$20,25\times 100 = 2\ 025$
$20,25\times 1\ 000 = 20\ 250$

Multiplier un nombre décimal par $0,1$ ou $0,01$ ou $0,001$

À retenir

• Multiplier un nombre décimal par $\red{0},1$ revient à décaler la virgule de ce nombre d'un rang vers la gauche.
• Multiplier un nombre décimal par $\red{0},\red{0}1$ revient à décaler la virgule de ce nombre de deux rangs vers la gauche.
• Multiplier un nombre décimal par $\red{0},\red{00}1$ revient à décaler la virgule de ce nombre de trois rangs vers la gauche.

Astuce

Multiplier un nombre décimal par $0,1$ (ou respectivement par $0,01$ ou $0,001$) revient au même que de le diviser par $10$ (ou respectivement par $100$ ou $1\ 000$).

Exemple

$19,7\times 0,1 = 1,97$
$19,7\times 0,01 = 0,197$
$19,7\times 0,001 = 0,0197$

Présentation de la multiplication de deux nombres décimaux

Nous allons présenter la multiplication des deux nombres décimaux 1,7 et 4,8 à l’aide du calcul de l’aire du rectangle ci-dessous de largeur 1,7 dm et de longueur 4,8 dm.

Convertissons les dimensions du rectangle en centimètres, pour ensuite effectuer des calculs sur des nombres entiers.

$\rm 1,7 ~dm = 17~cm$ et $\rm 4,8~dm = 48~cm$.

En $\rm cm^2$, l’aire de ce rectangle est donc : $17 \times 48 = 816$.

On passe d’une unité d’aire à la suivante en multipliant ou en divisant par $100$.

En $\rm dm^2$, l’aire de ce rectangle est donc : $816 \div 100 = 8,16$.

On a donc : $1,7 \times 4,8 = 8,16$.

Remarque

La multiplication de deux nombres décimaux peut donc se ramener à la multiplication de deux nombres entiers, suivi de multiplications particulières.

$ \begin{aligned}1,7 \times 4,8 =& 17\times 0,1 \times 48 \times 0,1 \\ =& 17 \times 48 \times 0,1 \times 0,1 \end{aligned}$.

On a donc :

$1,7 \times 4,8 = 17 \times 48 \times 0,01$, car $0,1 \times 0,1 = 0,01$.

$17 \times 48$ est un produit de nombres entiers dont le résultat est $816$. On en déduit donc :

$ \begin{aligned}1,7 \times 4,8 = & 816 \times 0,01\\ = & 8,16 \end{aligned}$.

Vocabulaire

Le résultat d’une multiplication est un produit et les termes de la multiplication sont les facteurs. $1,7 \times 4,8 = 8,16$ donc le produit des facteurs $1,7$ et $4,8$ est $8,16$.

Calcul posé de la multiplication de deux nombre décimaux

Nous souhaitons poser et effectuer le produit $1,7 \times 4,8$.

Méthodologie :

• Il faut d’abord effectuer les calculs sans tenir compte des virgules.
• Ensuite, pour placer correctement la virgule dans le résultat, nous devons additionner le nombre de chiffres après la virgule de chaque facteur et nous obtiendrons le nombre de chiffres après la virgule du résultat.
• Ici, 1 + 1 = 2 donc le résultat a 2 chiffres après la virgule.
• Nous devons placer la virgule après le deuxième chiffre du résultat, en partant de la droite.

Astuce

Pour effectuer une multiplication posée, il faut bien connaître les tables de multiplication.

À retenir

Pour poser une multiplication, on effectue d'abord le calcul sans tenir compte des virgules. Ensuite, pour placer correctement la virgule dans le résultat, on additionne le nombre de chiffres après la virgule de chaque facteur et on obtient ainsi le nombre de chiffres après la virgule du résultat.

Ordre de grandeur

Pour avoir une idée du résultat d'une multiplication sans la poser, on peut utiliser les ordres de grandeur. Par exemple, dans le calcul de $1,7\times 4,8$ :

• un ordre de grandeur de $1,7$ est $2$ ;
• un ordre de grandeur de $4,8$ est $5$.
• Un ordre de grandeur du produit de $1,7\times 4,8$ est donc $2\times 5 = 10$.

Effectivement, $1,7\times 4,8 = 8,16$ qui est assez proche de $10$.

Attention

Dans le cas du produit, il ne faut pas prendre des ordres de grandeur trop éloignés. En effet, deux ordres de grandeur trop éloignés des facteurs peuvent donner un produit très éloigné du résultat. Cette méthode de vérification ne serait donc plus utile.