Exercices Dérivée de 2 fonctions composées

Soit $n\ \in\ \mathbb{N^*}$.
On définit sur $\mathbb{R}$ les deux fonctions $a$ et $b$ par :
$a(x)=(1+x)^{2n}$ et $b(x)=x^n$
Déterminer $a'(x)$ et $b'(x)$.

Soit $f$ une fonction telle que $f'(x)=\dfrac{x}{1+x}$
On ne demande pas l'expression de $f$.
Soit $g$ définie par $g(x)=f(2x)$, exprimer $g'(x)$.

Question 1 : Étude d’une fonction auxiliaire

On considère la fonction $g$ définie sur $[0\ ;\,+\infty[$ par :

$$g(x)=2x^3-3x^2-2x+\dfrac 32$$

• Calculer $g(0)$, $g\left(\frac 12\right)$ et $g\left(\frac 32\right)$.
• Déterminer le sens de variation de la fonction $g$ sur $[0\ ;\, +\infty[$, puis dresser son tableau de variation.
  On ne demande pas la valeur des extremums et on admet que :

$$\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=+\infty$$

• En déduire le signe de $g(x)$ sur $\left[0\ ;\, \frac 32\right]$.

Question 2

Soit $a$ et $b$ deux nombres réels et $f$ la fonction définie sur $[0\ ;\, +\infty[$ par :

$$f(x)=(ax+b)\text{e}^{-x^2}$$

$\mathscr C_f$ est sa courbe représentative dans le repère orthonormé $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$.

• Calculer la dérivée de la fonction $w:x\mapsto \text{e}^{-x^2}$ sur $[0\ ;\, +\infty[$.
• Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à $[0\ ;\, +\infty[$, on a :

$$f^{\prime}(x)= \text{e}^{-x^2} (-2ax^2-2bx+a)$$

• On sait que $\mathscr C_f$ coupe l’axe des ordonnées en $C\left(0\ ;\, \frac 32\right)$ et qu’en ce point la tangente $\mathcal T$ a pour équation $y=-x+\frac 32$.

Prouver que $a=-1$ et que $b=\dfrac 32$.

Question 3

Soit $x\in \left[0\ ;\, \dfrac 32\right]$.
On admet que, sur cet intervalle, $f(x)\geq 0$.

On construit le rectangle $MNPO$ tel que :

$$M\,(x\ ;\, 0)\quad N\big(x\ ;\, f(x)\big)\quad P\big(0\ ;\, f(x)\big)$$

• Exprimer l’aire du rectangle en fonction de $x$. On notera cette aire $A(x)$.
• Calculer $A^{\prime}(x)$ et montrer que $A^{\prime}(x)$ est du même signe que $g(x)$.
• Montrer que l’aire du rectangle $MNPO$ atteint un maximum $A_\text{max}$ que l’on déterminera.